Qu'est-ce que le cryptage RSA et comment résoudre leurs chiffres ?

Comment fonctionne RSA :

1. Génération de clé :

* Choisissez deux nombres premiers distincts, *p* et *q*. Plus ceux-ci sont grands, plus le cryptage est sécurisé.

* Calculez *n =p * q*. *n* est le module.

* Calculez φ(n) =(p-1)(q-1). Il s'agit de la fonction totale d'Euler, représentant le nombre d'entiers inférieurs à *n* qui sont premiers par rapport à *n*.

* Choisissez un entier *e* (exposant public) tel que 1 <*e* <φ(n) et pgcd(e, φ(n)) =1 (le plus grand diviseur commun est 1; *e* et φ(n) sont premiers entre eux). Un choix courant est 65537 (2 ¹⁶ + 1).

* Calculez *d* (exposant privé) tel que *d* * e ≡ 1 (mod φ(n)). Cela signifie que *d* * *e* laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par φ(n). Cela se fait généralement à l’aide de l’algorithme euclidien étendu.

2. Clé publique : La clé publique est la paire (*n*, *e*). Ceci est partagé publiquement.

3. Clé privée : La clé privée est la paire (*n*, *d*). Cela doit rester secret.

4. Cryptage : Pour chiffrer un message *M* (représenté par un nombre inférieur à *n*) :

* Texte chiffré *C* =*M ^e * (mod *n*)

5. Décryptage : Pour déchiffrer le texte chiffré *C* :

* Texte brut *M* =*C ^d * (mod *n*)

Pourquoi ça marche : Le théorème d'Euler stipule que si *a* et *n* sont premiers entre eux, alors *a ^φ(n) ≡ 1 (mod n)*. Le choix de *d* et l'arithmétique modulaire garantissent que le décryptage récupère correctement le message d'origine. Casser RSA repose sur la factorisation de *n* en *p* et *q*, ce qui est irréalisable sur le plan informatique pour des nombres premiers suffisamment grands.

Résoudre les chiffres RSA :

La difficulté de résoudre les problèmes numériques RSA dépend des informations fournies. Voici des exemples de problèmes typiques et comment les résoudre :

Exemple 1 : chiffrement

* Problème : Étant donné *p* =11, *q* =13, *e* =7 et message *M* =5, chiffrez le message.

* Solution :

1. Calculez *n* =*p* * *q* =11 * 13 =143

2. Calculez φ(n) =(11-1)(13-1) =120

3. Vérifiez que pgcd(7, 120) =1 (ils sont premiers entre eux)

4. Chiffrer :*C* =*M ^e * (mod *n*) =5 ⁷ (mod.143)

* 5 ⁷ =78125

* 78125 ÷ 143 ≈ 546 avec un reste de 67

*Donc, *C* =67

Exemple 2 :Décryptage

* Problème : Étant donné *p* =11, *q* =3, *e* =7 et texte chiffré *C* =10, déchiffrez le texte chiffré.

* Solution :

1. Calculez *n* =*p* * *q* =11 * 3 =33

2. Calculez φ(n) =(11-1)(3-1) =20

3. Trouvez *d* tel que *d* * *e* ≡ 1 (mod φ(n)) Cela signifie 7 * *d* ≡ 1 (mod 20). Vous pouvez résoudre ce problème en utilisant l’algorithme euclidien étendu ou par essais et erreurs. *d* =3 fonctionne car (7 * 3) =21 ≡ 1 (mod 20).

4. Décrypter :*M* =*C ^d * (mod *n*) =10 ³ (mod.33)

* 10 ³ =1000

* 1000 ÷ 33 ≈ 30 avec un reste de 10

*Donc, *M* =10

Exemple 3 : Recherche d (exposant privé)

Trouver « d » nécessite souvent l'algorithme euclidien étendu, ce qui dépasse le cadre d'une simple explication ici. Cependant, pour des nombres plus petits, des essais et des erreurs peuvent fonctionner. Vous recherchez un nombre 'd' qui satisfait la congruence *d* * e ≡ 1 (mod φ(n)).

Considérations importantes :

* Grands nombres : Le RSA réel utilise des nombres premiers extrêmement grands (des centaines ou des milliers de bits). Les calculs manuels sont impossibles; un logiciel spécialisé est requis.

* Arithmétique modulaire : Comprendre l'arithmétique modulaire est crucial pour travailler avec RSA. De nombreuses calculatrices et langages de programmation disposent de fonctions intégrées pour l'exponentiation modulaire.

* Sécurité : La sécurité du RSA dépend entièrement de la difficulté de factoriser de grands nombres. À mesure que la puissance de calcul augmente, la taille des nombres premiers utilisés doit également augmenter pour maintenir la sécurité.

Ces exemples illustrent les principes de base. Pour des problèmes plus avancés, vous devrez probablement utiliser des outils informatiques et une compréhension plus approfondie de la théorie des nombres.